Allgemeine Psychologie - Denken und Sprache

Übungen zum 4. Kapitel


Übung 1

In einer Stadt gibt es zwei Taxi-Unternehmen. 85% der Taxen sind „Grüne“, die übrigen 15% sind „Blaue“. In der letzten Nacht war ein Taxi an einem Unfall mit Fahrerflucht beteiligt. Ein Augenzeuge sagte aus, das Unfall-Taxi sei blau gewesen. Der Zeuge wurde daraufhin auf seine Fähigkeit getestet, nachts zwischen grünen und blauen Taxen unterscheiden zu können: In 80% der Fälle urteilte er richtig, in 20% der Fälle falsch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Unfall-Taxi tatsächlich blau war, wie es der Augenzeuge gesagt hat? (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit nach dem Bayes-Theorem. (b) Was ist vermutlich die häufigste Antwort, die Personen in dieser Aufgabe geben? (c) Zeichnen Sie für die Häufigkeitsverhältnisse ein Baumdiagramm wie auf Seite 79, aus dem man das Ergebnis leicht ablesen kann.


Lösung zu Übung 1

Das Taxi-Problem stammt aus Untersuchungen von Kahneman und Tversky (z. B. Tversky & Kahneman, 1982). Ein Zeuge hat nachts einen Unfall eines Taxis mit Fahrerflucht beobachtet. In der Stadt gibt es grüne Taxen (85 %) und blaue Taxen (15 %). Der Zeug meint, das Taxi sei blau gewesen. Ein Test des Zeugen erbrachte, dass er grüne und blaue Taxen nachts in 80 % der Fälle korrekt identifiziert und in 20 % der Fälle falsch. Nun soll die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass das Taxi blau war, wie es der Zeuge gesagt hat.

 

a) Im Folgenden bedeutet „blau“, der Zeuge sagt, das Taxi sei blau, und „grün“, der Zeuge sagt, das Taxi sei grün. Weiterhin bedeuten B und G, dass das Taxi wirklich blau beziehungsweise grün ist. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit p(B|„blau“). Gegeben sind die Basiswahrscheinlichkeiten für die Taxen in der Stadt: p(G) = 0,85 und p(B) = 0,15. Weiterhin sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten gegeben, dass der Zeuge ein grünes beziehungsweise blaues Taxi richtig identifiziert p(„grün“|G) = 0,8 und p(„blau“|B) = 0,8. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeuge ein Taxi falsch identifiziert, entspricht der Gegenwahrscheinlichkeit: p(„grün“|B) = 0,2 und p(„blau“|G) = 0,2. Damit ergibt sich p(B|„blau“) nach der Bayes-Formel:

 

              

 

Das Taxi war also unter diesen Umständen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 41,4 % tatsächlich blau, wenn der Zeuge sagt, es sei blau gewesen.

 

b) Wenn Personen das Taxi-Problem in der hier beschriebenen Version bearbeiten, geben Sie meist eine von drei Antworten: Im Schnitt etwa drei von fünf Personen antworten „80 %“, geben also die Trefferrate des Augenzeugen an. Ungefähr eine von fünf Personen antwortet „15 %“ entsprechend der Basisrate für blaue Taxen. Und ein kleiner Teil der Personen antwortet „12 %“, hat also die Basisrate (0,15) mit der Trefferrate (0,8) multipliziert. Nur ganz wenige Personen kommen auf die richtige Antwort (Birnbaum, 2004, S. 48; Tversky & Kahneman, 1982). Eine weiterführende Diskussion dieser Aufgabe sowie einiger ihrer Varianten findet man bei Birnbaum (2004).

 

c) Ein Häufigkeitsbaum zu dieser Aufgabe könnte wie folgt aussehen:

 

                 

 

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit „Das Taxi war wirklich blau, wenn der Zeuge sagt, es sei blau gewesen“ ergibt sich aus dem Verhältnis 12 ÷ (12 + 17) = 0,414.

 

Literatur

Birnbaum, M. H. (2004). Base rates in Bayesian inference. In R. F. Pohl (Ed.), Cognitive illusions (pp. 43–60). Hove, UK: Psychology Press.

Tversky, A. & Kahneman, D. (1982). Evidential impact of base rates. In D. Kahneman, P. Slovic & A. Tversky (Eds.), Judgment under uncertainty: Heuristics and biases (pp. 153–160). New York: Cambridge University Press.



Übung 2

Beantworten Sie die folgenden zwei Fragen zunächst für sich selbst.

Welche Option würden Sie wählen: A oder B?

A)           Sie gewinnen 1 Million € mit p = 1,0.

B)           Sie gewinnen 5 Millionen € mit p = 0,1 und

              1 Million € mit p = 0,89 sowie 0 € mit p = 0,01.

 

Welche Option würden Sie hier wählen: C oder D?

 

C)           Sie gewinnen 1 Million € mit p = 0,11 und 0 € mit p = 0,89.

D)           Sie gewinnen 5 Millionen € mit p = 0,1 und 0 € mit p = 0,90.

 

Für welche Optionen sollte sich eine Person (a) nach den Erwartungswerten und (b) nach der Prospect-Theorie entscheiden? (c) Wie würde man nach der Prioritätsheuristik vorgehen?


Lösung zu Übung 2

In dieser Aufgabe sollten Sie sich zunächst zwischen den Gewinnoptionen (A) und (B) entscheiden:

 

A)           Sie gewinnen 1 Million € mit p = 1,0.

B)           Sie gewinnen 5 Millionen € mit p = 0,1;

              1 Million € mit p = 0,89 und 0 € mit p = 0,01.

 

Dann sollten Sie sich zwischen den Optionen (C) und (D) entscheiden:

 

C)           Sie gewinnen 1 Million € mit p = 0,11 und 0 € mit p = 0,89.

D)           Sie gewinnen 5 Millionen € mit p = 0,1 und 0 € mit p = 0,90.

 

Typischerweise wählen Personen (A) und (D) (MacCrimmon, 1968).

 

a) Die Erwartungswerte EV für die vier Optionen berechnen sich als Summe der mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichteten Gewinne (s. Buch Seite 83):

 

EVA =    1 Mio € × 1,0 =                                            1,00 Mio €

 

EVB =    (5 Mio € × 0,1) + (1 Mio € × 0,89) +

               (0 Mio € × 0,01) =                                       1,39 Mio €

 

EVC =    (1 Mio € × 0,11) + (0 Mio € × 0,89) =       0,11 Mio €

 

EVD =    (5 Mio € × 0,1) + (0 Mio € × 0,9) =           0,50 Mio €

 

Nach den Erwartungswerten sollten Personen also Option (B) gegenüber (A) und Option (D) gegenüber (C) bevorzugen.

 

b) Nach der Prospect-Theorie haben wir es hier mit einem Sicherheitseffekt zu tun: Bei der Wahl zwischen (A) und (B) entscheidet man sich für die sichere Option (A). Man wertet nach der Gewichtungsfunktion die Chance auf den Gewinn von 5 Millionen € ab und möchte das Risiko vermeiden, überhaupt nichts zu gewinnen. Bei der Wahl zwischen (C) und (D) entscheidet man sich nach dem höheren Wert für die Option (D), weil die Gewinnwahrscheinlichkeiten in beiden Fällen recht ähnlich sind.

 

c) Nach der Prioritätsheuristik (s. Buch Seite 89) geht man wie folgt vor: Zur Wahl stehen im ersten Fall die Optionen (A) und (B). Zunächst werden die Minimalgewinne verglichen: 1 Million € versus 0 €. Da der Unterschied den Wert von 1/10 des Maximalgewinns (500.000 €) übersteigt, wird kein weiterer Entscheidungsgrund betrachtet, sondern gleich die Option mit dem attraktiveren Minimalgewinn gewählt – die sichere Million von Option (A). Im zweiten Fall stehen die Optionen (C) und (D) zur Wahl. Zunächst wird wieder der Minimalgewinn verglichen: Er ist in beiden Fällen 0 €, differenziert also nicht zwischen den Optionen. Dann werden die Wahrscheinlichkeiten des Minimalgewinns verglichen: Die Werte 89 % und 90 % unterscheiden sich nicht um mehr als 10 %, folglich fällt die Entscheidung nach dem höheren Maximalgewinn von 5 Millionen € für Option (D). Die Prioritätsheuristik sagt also das beobachtete Entscheidungsverhalten ebenfalls vorher. Die Entscheidungsgründe sind dabei ganz ähnlich denen der Prospect-Theorie.

 

Diese Aufgabe ist in der Literatur bekannt als Allais-Paradox (Allais, 1953; 1979). Dabei ist die Aufgabe nicht nur deshalb interessant, weil sich Personen gegen die Präferenz des Modells vom erwarteten Nutzen entscheiden, sondern weil sie dabei das Unabhängigkeitsprinzip dieses Modells verletzen. Dieses besagt, dass eine Entscheidung zwischen zwei Optionen X und Y nicht durch ein Ereignis beeinflusst wird, wenn dieses bei beiden Optionen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftritt. Dass dies in beiden Entscheidungssituationen der Fall ist, sieht man, wenn man die angegebenen Wahrscheinlichkeiten in gleiche Anteile aufspaltet (wodurch sich an der Gesamtsituation aber nichts ändert):

 

 

 

Man erkennt zunächst, dass die beiden Teilereignisse mit p = 0,1 und p = 0,01 für die erste und die zweite Wahl identisch sind. Weiterhin sieht man, dass das Teilereignis mit p = 0,89 bei den zwei Optionen einer Aufgabe denselben Wert hat. Dieses Teilereignis sollte nach dem Unabhängigkeitsprinzip für die Entscheidung zwischen den Optionen also irrelevant sein. Würde man konsistent antworten, so würde man sich demnach entweder für (A) und (C) oder für (B) und (D) entscheiden. Die beobachtete Präferenzumkehr (A) und (D) zeigt nun, dass Personen das Teilelement mit p = 0,89 nicht für irrelevant halten. Sie verstoßen somit gegen das Unabhängigkeitsprinzip.

 

Literatur

Allais, M. (1953). Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: Critique des postulates et axioms de l’école américaine. Econometrica, 21, 503–546.

Allais, M. (1979). The so-called Allais paradox and rational decisions under uncertainty. In M. Allais & O. Hagen (Eds.), Expected utility hypotheses and the Allais paradox (pp. 437–681). Dordrecht: Reidel.

MacCrimmon, K. R. (1968). Descriptive and normative implications of the decision-theory postulates. In K. H. Borch & J. Mossin (Eds.), Risk and uncertainty (pp. 3–23). London, UK: Macmillan.



 

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