Statistik – Wahrscheinlichkeitstheorie und Schätzverfahren

Glossar


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A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Eine A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist eine empirisch ermittelte Wahrscheinlichkeit als Ergebnis der Anwendung des Satzes von Bayes.

A-priori-Wahrscheinlichkeit

Die A-priori Wahrscheinlichkeit auch Inzidenzrate genannt wir aufgrund von Vorwissen definiert.

Asymptotische Erwartungstreue

Ein Schätzer heißt asymptotisch erwartungstreu, wenn der Bias des Schätzers mit wachsendem Stichprobenumfang gegen 0 strebt.

Axiome von Kolmogorov

Nach den Axiomen von Kolomogorov muss ein Wahrscheinlichkeitsmaß bestimmte Bedingungen erfüllen:

1.) Jedem Ereignis wird als Wahrscheinlichkeit eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet.
2.) Das sichere Ereignis Ω erhält die Wahrscheinlichkeit 1.
3.) Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung paarweise disjunkter Mengen ist gleich der Summe der
     Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.

Bayesianische Intervallschätzungen

Bayesianische Intervallschätzungen basieren auf der A-posteriori-Verteilung des Parameters und erfolgen anhand der sogenannten Kredibilitätsintervalle. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Grenzen dieser Intervalle festzulegen. Bei gleichendigen Kredibilitätsintervallen wählt man die α/2- und (1-α)/2-Quantile der A-posteriori-Verteilung. Die Grenzen eines HPD-Intervalls werden hingegen so gewählt, dass innerhalb dieses Intervalls ein bestimmter Anteil der Parameterwerte liegt und die Dichte für alle Parameter außerhalb des HPD-Intervalls kleiner/gleich der Dichte für alle Parameterwerte innerhalb dieses Intervalls ist.

Bayesianische Schätzmethoden

Zur Schätzung eines Parameters im Rahmen bayesianischer Schätzmethoden wird für diesen Parameter eine (A-priori-)Verteilung angenommen. Anhand dieser Vorinformation und der Likelihood für die Daten wird mithilfe des Bayes-Theorems die A-posteriori-Verteilung des interessierenden Parameters bestimmt. Bestimmte Kennwerte der A-posteriori-Verteilung, insbesondere der Erwartungswert und Modus, dienen als bayesianische Schätzer des Parameters.

bedingte Verteilung

Für eine zweidimensionale Zufallsvariable mit der gemeinsamen Verteilung fXY ist die bedingte Verteilung von Y gegeben X = x definiert als fY (y|x) = fxy /fx.

bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Eintritts von Ereignis A unter der Bedingung des Eintritts von Ereignis B.

Bernoulli-Variable

Eine Bernoulli-Variable ist eine diskrete Zufallsvariable, bei der lediglich die Werte 0 und 1 eine Wahrscheinlichkeit größer 0 annehmen. Für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der 1 wird der Parameter π verwendet.

Bernoulli-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein dichotomes Merkmal. Die Wahrscheinlichkeit für die interessierende Ausprägung, häufig mit Erfolg bezeichnet, stellt den Parameter π dar.

Bias

Der Bias eines Schätzers ist die Differenz zwischen dem Erwartungswert eines Schätzers von q und dem Parameter θ.

Binominalkoeffizient

Mithilfe des Binominalkoeffizienten lässt sich berechnen, wie viele Teilmengen mit k Elementen aus einer Menge mit n Elementen gebildet werden können.

Binominalverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen. Der Parameter π stellt die Wahrscheinlichkeit für die interessierende Merkmalsausprägung dar ("Erfolgswahrscheinlichkeit"), n repräsentiert die Anzahl der Bernoulli-Variablen bzw. Versuche.

bivariate Normalverteilung

Gemeinsame Normalverteilung zweier Zufallsvariablen. Die Verteilung wird bestimmt durch die Erwartungswerte und Standardabweichungen der beiden Zufallsvariablen und deren Kovarianz.

bivariate Verteilung

Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für zwei Zufallsvariablen.

Bootstrap-Schätzmethode

Bei der Bootstrap-Schätzmethode wird die Stichprobenverteilung einer Statistik aus den beobachteten Daten erzeugt. Aus den beobachteten Daten, der sogenannten Basisstichprobe, wird durch Ziehen mit Zurücklegen eine bestimmte Anzahl von Bootstrap-Stichproben gezogen, für die jeweils der interessierende Parameter bestimmt wird. Der Mittelwert dieser Statistik über alle Bootstrap-Stichproben hinweg kann als Bootstrap-Schätzung des interessierenden Parameters aufgefasst werden, wenn der Bias sehr gering ist.

Bootstrap -Schätzung des Bias

Die Bootstrap-Schätzung des Bias ergibt sich als Differenz zwischen des Bootstrap-Schätzung des interessierenden Parameters und der Schätzung des Parameters anhand der Basisstichprobe.

Bootstrap-Verfahren

Beim Bootstrap-Verfahren wird aus einer Population mit einer unbekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Stichprobe, auch Basisstichprobe genannt, gezogen, aus der wiederum sogenannte Bootsrap-Stichproben gezogen werden. Die anhand der Bootstrap-Stichproben berechneten Statistiken bilden die Grundlage für die Bootstrap-Verteilung, die eine Schätzung der Stichprobenverteilung darstellt.

Bootstrap Intervallschätzung

Bootstrap Intervallschätzungen beruhen auf der Bootstrap-Verteilung einer Stichprobenstatistik. Die Grenzen der Bootstrap-t-Konfidenzintervalle ergeben sich aus dem Produkt des Boostrap-Standardfehlers mit denen der Sicherheitswahrscheinlichkeit entsprechenden Quantilen der t-Verteilung. Bootstrap-Perzentil-Intervalle basieren auf den α/2- und (1-α/2) Quantilen der Bootstrap-Verteilungsfunktion. Sogenannte BCA-Intervalle berücksichtigen die Schiefe und den Bias der Bootstrap-Verteilung.

Chi - Quadrat - Verteilung (Χ2)

Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Summe von quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen.

 

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